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程民德( | 程民德(1917-1998) | ||
<br> 程民德，数学家，数学教育家。长期从事多元调和分析、多元三角逼近论的研究，并在中国倡导开展模式识别、图象处理的研究。长期担任北京大学数学系的领导工作，是北京大学数学研究所的创始人之一。 | <br> 程民德，数学家，数学教育家。长期从事多元调和分析、多元三角逼近论的研究，并在中国倡导开展模式识别、图象处理的研究。长期担任北京大学数学系的领导工作，是北京大学数学研究所的创始人之一。 | ||
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<br>中国多元调和分析研究的开拓者 | <br>中国多元调和分析研究的开拓者 | ||
<br> 调和分析最早来源于函数的傅里叶展开。假设f(x)是以2π为周期的函数，它的傅里叶级数为 | <br> 调和分析最早来源于函数的傅里叶展开。假设f(x)是以2π为周期的函数，它的傅里叶级数为 | ||
<br> | <br> [[文件:cmd1.gif]] | ||
<br> ，其中Ci是f的傅里叶系数： | <br> ，其中Ci是f的傅里叶系数： | ||
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<br> 傅里叶级数的第一个最基本的问题是，函数f(x)满足什么条件，其傅里叶级数在x0便收敛到f(x0)。1872年P.D.G.杜布瓦-雷蒙(duBois-Reymond)构造了一个反例，表明函数在x0连续不能保证傅里叶级数在x0收敛。于是人们采用一种新的收敛概念——求和法。最简单的求和法是(C，1)求和，即考虑级数前n项部分和的算术平均当n→∞时的极限。1900年L.费耶尔(Fejer)证明，函数只要在x0连续，其傅里叶级数在x0便(C，1)可求和到f(x0)。可见，求和的概念比收敛的概念更适合于傅里叶级数理论。程民德早年的工作，就是研究单元傅里叶级数各种求和法以及求和因子等问题的。 | |||
傅里叶级数理论的另一个问题是唯一性问题。此问题的提法是，如果一个三角级数收敛(或可求和)到一个可积函数，能否断言此三角级数必是该函数的傅里叶级数?或狭义一些，如果一个三角级数收敛(或可求和)到0，能否断言此三角级数的系数皆为0?对于一元三角级数唯一性的研究，G.F.B.黎曼(Riemann)与G.康托尔(Cantor)取得了伟大的成果，促使了点集论的产生。 | 傅里叶级数理论的另一个问题是唯一性问题。此问题的提法是，如果一个三角级数收敛(或可求和)到一个可积函数，能否断言此三角级数必是该函数的傅里叶级数?或狭义一些，如果一个三角级数收敛(或可求和)到0，能否断言此三角级数的系数皆为0?对于一元三角级数唯一性的研究，G.F.B.黎曼(Riemann)与G.康托尔(Cantor)取得了伟大的成果，促使了点集论的产生。 | ||
<br> 直到本世纪40年代，包括上述基本问题的调和分析理论，也只是对一元函数来说比较完整。多元调和分析由于有原则上的困难，一直未有本质上的突破。在30—40年代中，由于偏微分方程等研究的需要，调和分析家一直在探求这方面的进展。在40年代后期，程民德适应这种潮流，研究方向从一元调和分析转到多元，从多重三角级数唯一性理论开始，获得了重要的成果。 | <br> 直到本世纪40年代，包括上述基本问题的调和分析理论，也只是对一元函数来说比较完整。多元调和分析由于有原则上的困难，一直未有本质上的突破。在30—40年代中，由于偏微分方程等研究的需要，调和分析家一直在探求这方面的进展。在40年代后期，程民德适应这种潮流，研究方向从一元调和分析转到多元，从多重三角级数唯一性理论开始，获得了重要的成果。 | ||
<br> 多元调和分析较一元问题要复杂得多，例如，二重三角级数 | <br> 多元调和分析较一元问题要复杂得多，例如，二重三角级数 | ||
<br> | <br> [[文件:cmd3.gif]] | ||
<br> 的收敛性就有多种本质不同的定义。像通常考虑的方形和、矩形和之外，自然还可以考虑圆形和定义，即看圆形部分和 | <br> 的收敛性就有多种本质不同的定义。像通常考虑的方形和、矩形和之外，自然还可以考虑圆形和定义，即看圆形部分和 | ||
<br> | <br> [[文件:cmd4.gif]] | ||
<br> 当R→∞时的极限。多重三角级数唯一性的最早成果，是程民德于1950年得到的。他证明了如果二重(从而多重)三角级数的圆形和按(C，1)可求和到0，则其系数皆为0。以后有一系列的文献对程民德的工作进行推广与补充。 | <br> 当R→∞时的极限。多重三角级数唯一性的最早成果，是程民德于1950年得到的。他证明了如果二重(从而多重)三角级数的圆形和按(C，1)可求和到0，则其系数皆为0。以后有一系列的文献对程民德的工作进行推广与补充。 | ||
<br> 为了证明上述的多重三角级数的唯一性定理，程民德发展了一个有独立意义的领域，就是重调和函数的研究。人们知道，调和函数是满足拉普拉斯(Laplace)方程△u=0的二次连续可微函数。m重调和函数就是2m次连续可微函数，满足方程△mu=0。问题是当只知道u仅有较少的光滑性时(例如只知有2m—2次连续可微)，怎样来刻划u的m重调和性。这个问题，德国的W.J.E.布拉施克(Blaschke)于1916年解决了m=1的情形。30年代，D.尼科列斯库(Nicolesco)对一般的m作出了类似的刻划。程民德在研究多重三角级数唯一性时，发现他给出的条件只是必要而不是充分的。他于1950年引进了广义多重拉普拉斯运算(记为▽m)的概念，并且在u是2m—2次连续可微的条件下证明了，△mu=0当且仅当▽mu=0。 | |||
<br> 50年代以来，多元调和分析取得了很大的进展，其中的一个课题，就是对分数次积分的研究。多元函数在整个n维欧氏空间的分数次积分，是由M.里斯(Riesz)于1949年引进的，这就是里斯位势。对于周期函数或有限区域，并没有明显的类似，程民德与陈永和通过多重傅里叶级数的博赫纳(Bochner)-里斯平均，对于周期函数定义了分数次积分与分数次拉普拉斯运算，详尽地研究了它们的性质以及与索波列夫(Соболев)空间的关系。由于嵌入定理的需要，在50年代，苏联、美国等有不少人研究周期函数与定义在有限区域上的函数的分数次积分。在这些工作中，程民德与陈永和于1957年及1959年发表在北京大学学报并于1956年在波兰科学院摘要刊载的结果是最早的。 | <br> 50年代以来，多元调和分析取得了很大的进展，其中的一个课题，就是对分数次积分的研究。多元函数在整个n维欧氏空间的分数次积分，是由M.里斯(Riesz)于1949年引进的，这就是里斯位势。对于周期函数或有限区域，并没有明显的类似，程民德与陈永和通过多重傅里叶级数的博赫纳(Bochner)-里斯平均，对于周期函数定义了分数次积分与分数次拉普拉斯运算，详尽地研究了它们的性质以及与索波列夫(Соболев)空间的关系。由于嵌入定理的需要，在50年代，苏联、美国等有不少人研究周期函数与定义在有限区域上的函数的分数次积分。在这些工作中，程民德与陈永和于1957年及1959年发表在北京大学学报并于1956年在波兰科学院摘要刊载的结果是最早的。 | ||
<br> 国际上多元调和分析的突破性进展公认是A.P.考尔德伦(Calderon)与A.赞格蒙(Zygmund)1952年关于奇异积分算子的奠基性工作。以后的蓬勃发展形成了整个的多元调和分析理论。程民德早在50年代便注意到了这个进展，并于1962年在北京大学组织讨论班学习奇异积分算子理论。“文化大革命”后，他又很快恢复了多元调和分析的研究工作，并组译了E.施坦(Stein)的《奇异积分与函数的可微性》，并亲自给研究生上课。他在这方面已培养了4名博士，近20名硕士。他所领导的科研集体，已活跃于多元调和分析的国际前沿。他们在哈代(Hardy)空间、贝索夫空间、奇异积分算子、汉克尔(Hankel)算子等方面作出了优秀的成果，受到了国际同行的高度评价。他和他的学生已把他们给研究生上课的讲义整理成《实分析》一书出版。 | <br> 国际上多元调和分析的突破性进展公认是A.P.考尔德伦(Calderon)与A.赞格蒙(Zygmund)1952年关于奇异积分算子的奠基性工作。以后的蓬勃发展形成了整个的多元调和分析理论。程民德早在50年代便注意到了这个进展，并于1962年在北京大学组织讨论班学习奇异积分算子理论。“文化大革命”后，他又很快恢复了多元调和分析的研究工作，并组译了E.施坦(Stein)的《奇异积分与函数的可微性》，并亲自给研究生上课。他在这方面已培养了4名博士，近20名硕士。他所领导的科研集体，已活跃于多元调和分析的国际前沿。他们在哈代(Hardy)空间、贝索夫空间、奇异积分算子、汉克尔(Hankel)算子等方面作出了优秀的成果，受到了国际同行的高度评价。他和他的学生已把他们给研究生上课的讲义整理成《实分析》一书出版。 | ||
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<br>在我国开创了多元三角逼近的研究方向 | |||
<br> 函数逼近论是本世纪初发展起来的一个数学分支，其基本思想是用简单的、性质好的函数(例如多项式或三角多项式)去逼近复杂的、性质差一些的函数，这在理论上与实际应用方面都是很有意义的。50年代以前，逼近论大都是研究一元函数的逼近问题。多元函数的逼近，只是从50年代以来才取得较大的进展。逼近多元周期函数，最常见的一种方法是用其傅里叶级数圆形和的一种求和法——δ阶博赫纳-里斯平均 | <br> 函数逼近论是本世纪初发展起来的一个数学分支，其基本思想是用简单的、性质好的函数(例如多项式或三角多项式)去逼近复杂的、性质差一些的函数，这在理论上与实际应用方面都是很有意义的。50年代以前，逼近论大都是研究一元函数的逼近问题。多元函数的逼近，只是从50年代以来才取得较大的进展。逼近多元周期函数，最常见的一种方法是用其傅里叶级数圆形和的一种求和法——δ阶博赫纳-里斯平均 | ||
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<br> 这种求和法，δ愈大，性能愈好。δ有一个临界指标δ0＝1/2，它是刻划这种求和法的一个分界数。1947年两位印度数学家证明了对较大的δ(δ>δ0+α)，用SδR去逼近α阶的李普希茨(Lipschitz)函数，可以达到理想的逼近程度，但这结果显然是不精确的。1956年程民德在我国最早研究多元三角逼近理论。他同陈永和合作彻底解决了临界阶以上(δ>δ0)博赫纳-里斯平均的逼近问题。他们证明了只要δ>δ0，就可以达到理想的逼近程度。他们还把周期函数的分数次积分概念与多元三角逼近理论联系起来，得到了丰富的结果。这些结果，不仅以其系统完整而载入专著，而且对多元三角逼近理论产生了很大影响。直到80年代，在程民德工作的基础上，对等于或小于临界阶的博赫纳-里斯平均的研究，仍是很活跃的课题。在我国，现在已有一批数学工作者在这个方向上继续工作。另外，由于傅里叶级数与数学物理密切相关，程民德等的研究结果已被郭本瑜等用于偏微分方程的数值分析。 | <br> 这种求和法，δ愈大，性能愈好。δ有一个临界指标δ0＝1/2，它是刻划这种求和法的一个分界数。1947年两位印度数学家证明了对较大的δ(δ>δ0+α)，用SδR去逼近α阶的李普希茨(Lipschitz)函数，可以达到理想的逼近程度，但这结果显然是不精确的。1956年程民德在我国最早研究多元三角逼近理论。他同陈永和合作彻底解决了临界阶以上(δ>δ0)博赫纳-里斯平均的逼近问题。他们证明了只要δ>δ0，就可以达到理想的逼近程度。他们还把周期函数的分数次积分概念与多元三角逼近理论联系起来，得到了丰富的结果。这些结果，不仅以其系统完整而载入专著，而且对多元三角逼近理论产生了很大影响。直到80年代，在程民德工作的基础上，对等于或小于临界阶的博赫纳-里斯平均的研究，仍是很活跃的课题。在我国，现在已有一批数学工作者在这个方向上继续工作。另外，由于傅里叶级数与数学物理密切相关，程民德等的研究结果已被郭本瑜等用于偏微分方程的数值分析。 | ||
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